شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | وارون ماتریس](https://dl2.my-dars.com/upload/image/051744015457.jpg)
اگر \(\left| A \right| \ne 0\) باشد، در این صورت ماتریس A وارون پذیر است و وارون آن را با نماد \({A^{ - 1}}\) نشان می دهیم و برای ماتریس های \(2 \times 2\) به صورت زیر بدست می آید:
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}d&{ - b}\\{ - c}&a\end{array}} \right]\end{array}\)
اگر \(\left| A \right| = 0\) آنگاه A وارون پذیر نیست.
مثال
مقدار x را طوری تعیین کنید که ماتریس \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&{3x - 1}\\{ - 5}&4\end{array}} \right]\) وارون پذیر نباشد.
\(\begin{array}{l}\left| A \right| = 8 - \left( {3x - 1} \right)\left( { - 5} \right)\\\\\left| A \right| = 8 + 15x - 5 \Rightarrow \left| A \right| = 15x + 3\\\\\left| A \right| = 0 \Rightarrow 15x + 3 = 0 \Rightarrow 15x = - 3\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ - 3}}{{15}} = - \frac{1}{5}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}ax + by = m\\\\cx + dy = n\end{array}\)
حال این معادله را تبدیل به معادله ماتریس می کنیم:
\(\begin{array}{l}AX = B\\A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right]\\\\X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right]\\\\B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}m\\n\end{array}} \right]\end{array}\)
جواب معادله ماتریس به صورت زیر است:
\(X = {A^{ - 1}} \times B\)
دستگاه دو معادله-دو مجهول زیر را به روش وارون ماتریس حل کنید.
\(\begin{array}{l} - x + y = 2\\2x - y = - 3\end{array}\)
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right]\;,\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right]\;,\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 3}\end{array}} \right]\\\\X = {A^{ - 1}} \times B\\\\\left| A \right| = 1 - 2 = - 1\\\\{A^{ - 1}} = \frac{1}{{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right] \Rightarrow - 1\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right]\\\\{A^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&1\end{array}} \right]\\\\X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&1\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 3}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\{ + 1}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow x = - 1\;\;,\;\;y = + 1\end{array}\)
1736019749.png)
